Óptica geométrica
La óptica geométrica parte de las leyes fenomenológicas de
Snell (o
Descartes según otras fuentes) de la
reflexión y la
refracción. A partir de ellas, basta hacer geometría con los
rayos luminosos para la obtención de las fórmulas que corresponden a los
espejos,
dioptrio y
lentes (o sus
combinaciones), obteniendo así las leyes que gobiernan los instrumentos ópticos a que estamos acostumbrados.
La óptica geométrica usa la noción de rayo luminoso; es una aproximación del comportamiento que corresponde a las
ondas electromagnéticas (la
luz) cuando los objetos involucrados son de tamaño mucho mayor que la
longitud de onda usada; ello permite despreciar los efectos derivados de la
difracción, comportamiento ligado a la naturaleza ondulatoria de la luz.
Esta aproximación es llamada de la Eikonal y permite derivar la óptica geométrica a partir de las ecuaciones de
Maxwell.
Naturaleza de la luz
La luz presenta una naturaleza compleja: depende de como la observemos se manifestará como una
onda o como una
partícula. Estos dos estados no se excluyen, sino que son complementarios (véase
Dualidad onda corpúsculo). Sin embargo, para obtener un estudio claro y conciso de su naturaleza, podemos clasificar los distintos fenómenos en los que participa según su interpretación teórica:
Teoría ondulatoria
Esta teoría considera que la luz es una
onda electromagnética, consistente en un
campo eléctrico que varía en el tiempo generando a su vez un
campo magnético y viceversa, ya que los campos eléctricos variables generan campos magnéticos (
ley de Ampère) y los campos magnéticos variables generan campos eléctricos (
ley de Faraday). De esta forma, la onda se autopropaga indefinidamente a través del espacio, con campos magnéticos y eléctricos generándose continuamente. Estas ondas electromagnéticas son
sinusoidales, con los campos eléctrico y magnético perpendiculares entre sí y respecto a la dirección de propagación .
Vista lateral (izquierda) de una onda electromagnética a lo largo de un instante y vista frontal (derecha) de la misma en un momento determinado. De color rojo se representa el campo magnético y de azul el eléctrico.
Para poder describir una onda electromagnética podemos utilizar los parámetros habituales de cualquier
onda:
Amplitud (A): Es la longitud máxima respecto a la posición de equilibrio que alcanza la onda en su desplazamiento.
Periodo (T): Es el tiempo necesario para el paso de dos máximos o mínimos sucesivos por un punto fijo en el espacio.
Frecuencia (v): Número de de oscilaciones del campo por unidad de tiempo. Es una cantidad inversa al periodo.
Longitud de onda (λ' '): Es la distancia lineal entre dos puntos equivalentes de ondas sucesivas.
Velocidad de propagación (V): Es la distancia que recorre la onda en una unidad de tiempo. En el caso de la velocidad de propagación de la luz en el vacío, se representa con la letra c.
La velocidad, la frecuencia, el periodo y la longitud de onda están relacionadas por las siguientes ecuaciones:
Reflexión y refracción
Reflexión de la luz, un haz choca contra un espejo y se refleja.
El fenómeno más sencillo de esta teoría es la de la reflexión, si pensamos unos minutos en los rayos luminosos que chocan mecánicamente contra una superficie que puede reflejarse. La proporción entre los rayos que chocan y los que salen expedidos esta regulada por los ángulos de éstos en relación con una línea perpendicular a la superficie en la que se reflejan. Entonces la ley de reflexión nos dice que el ángulo incidente es igual al ángulo reflejado con la perpendicular al espejo:
[1](
1)
La segunda ley de la reflexión nos indica que el rayo incidente, el rayo reflectado y la normal con respecto a la superficie reflejada están en el mismo plano.
[2]Ley de Snell
El índice de refracción "n" de un medio viene dado por la siguiente expresión, donde v es la velocidad de la luz en ese medio:
Ya que la velocidad de la luz en los materiales depende del índice de refracción, y el índice de refracción depende de la frecuencia de la luz, la luz a diferentes frecuencias viaja a diferentes velocidades a través del mismo material. Esto puede causar distorsión de ondas electromagnéticas que consisten de múltiples frecuencias, llamada
dispersión.
Los ángulos de incidencia (i) y de refracción (r) entre dos medios y los índices de refracción están relacionados por la
Ley de Snell. Los ángulos se miden con respecto al vector normal a la superficie entre los medios:
PRIMERA
LEY DE LA REFLEXION. Los triángulos rectángulos AHI y A’HIR, que tienen un cateto común Hl y los otros dos lados iguales, AH = A’H, son iguales. Los ángulos HAI y HA’I son también Iguales , pero los ángulos r y HA'I por correspondientes ; por consiguiente, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, que es la segunda
ley de reflexión.
La
refracción es el cambio brusco de dirección que sufre la luz al cambiar de medio. Este fenómeno se debe al hecho de que la luz se propaga a diferentes velocidades según el medio por el que viaja. El cambio de dirección es mayor, cuanto mayor es el cambio de velocidad, ya que la luz prefiere recorrer las mayores distancias en su desplazamiento por el medio que vaya más rápido. La
ley de Snell relaciona el cambio de ángulo con el cambio de velocidad por medio de los
índices de refracción de los medios.
Como la refracción depende de la energía de la luz, cuando se hace pasar luz blanca o policromática a través de un medio no paralelo, como un prisma, se produce la separación de la luz en sus diferentes componentes (colores) según su energía, en un fenómeno denominado
dispersión refractiva. Si el medio es paralelo, la luz se vuelve a recomponer al salir de él.
Ejemplos muy comunes de la refracción son la ruptura aparente que se ve en un lápiz al introducirlo en agua o el arco iris.
ESPEJOS
ESPEJO PLANO
Los espejos planos los utilizamos con mucha frecuencia. Si eres buen observador te habras fijado en que la imagen producida por un espejo plano es virtual, ya que no la podemos proyectar sobre una pantalla, tiene el mismo tamaño que el objeto y se encuentra a la misma distancia del espejo que el objeto reflejado
Habras observado tambien que la parte derecha de la imagen corresponde a la parte izquierda del objeto y viceversa. Esto se llama inversion lateral.
Si la superficie del segundo medio es lisa, puede actuar como un espejo y producir una imagen reflejada (figura 2). En la figura 2, la fuente de luz es el objeto A; un punto de A emite rayos en todas las direcciones. Los dos rayos que inciden sobre el espejo en B y C, por ejemplo, se reflejan como rayos BD y CE. Para un observador situado delante del espejo, esos rayos parecen venir del punto F que esta detras del espejo. De las leyes de reflexion se deduce que CF y BF forman el mismo angulo con la superficie del espejo que AC y AB. En este caso, en el que el espejo es plano, la imagen del objeto parece situada detras del espejo y separada de el por la misma distancia que hay entre este y el objeto que está delante.
Si la superficie del segundo medio es rugosa, las normales a los distintos puntos de la superficie se encuentran en direcciones aleatorias. En ese caso, los rayos que se encuentren en el mismo plano al salir de una fuente puntual de luz tendrán un plano de incidencia, y por tanto de reflexión, aleatorio. Esto hace que se dispersen y no puedan formar una imagen
ESPEJOS ESFERICOS
Los espejos: Por definición, espejo es el nombre que recibe toda superficie o lamina de cristal azogado por la parte posterior, o de metal bruñido, para que se reflejen en ella los objetos. Por extensión se denomina “espejo” a toda superficie que produce reflexión de los objetos, por ej. : la superficie del agua.
Por lo tanto, y a partir de la definición que hemos establecido previamente, extendemos el concepto: un espejo esférico está formado por una superficie pulida correspondiente a un casquete esférico.
Los espejos esféricos pueden clasificarse en cóncavos o convexos; son cóncavos, aquellos que tienen pulimentada la superficie interior y son convexos los que tienen pulimentada la parte exterior
Hay dos clases de espejos esféricos, los cóncavos y los convexos.
El centro de curvatura (O) es el centro de la esfera a la que pertenece el casquete. Cualquier rayo que pase por este punto se reflejará sin cambiar de direccion.El centro del casquete esférico (C) se denomina centro de figura. La línea azul, que pasa por los dos puntos anteriores se denomina eje optico.
El foco (F) es el punto en el que se concentran los rayos reflejados, para el caso de los espejos concavos, o sus prolongaciones si se trata de espejos convexos. Llamamos distancia focal de un espejo a la distancia entre los puntos F y C.
Elementos de los espejos esféricos:
Centro de curvatura: Es el centro de la esfera a la que pertenece el casquete.
Radio de curvatura: Es el radio de la esfera a la cual pertenece el espejo.
Vértice del espejo: Es el polo del casquete esférico al que pertenece el espejo.
Eje principal: Es la recta que pasa por el vértice y el centro de curvatura
Eje secundario: Cada una de las rectas que pasa por el centro de curvatura.
Abertura (o Ángulo) del espejo: Es el Ángulo formado por los ejes secundarios que pasan por el borde del espejo.
En los espejos esféricos se verifican las mismas leyes de reflexion que en los espejos planos. De hecho, se considera que el punto de incidencia del rayo pertenece al plano tangente al espejo esférico, en ese mismo punto.
La trayectoria de los rayos y los focos:
En los espejos esféricos cóncavos, se cumple que:
* Todos los rayos paralelos al eje principal se reflejan pasando por el foco (ubicado sobre el eje principal).
* Cualquier rayo que pase por el foco principal se refleja paralelo al eje principal.
* Todo rayo que pase por el centro de curvatura, se refleja sobre sí mismo. Esto se explica fácilmente en forma geométrica, ya que, si pasa por el centro de curvatura, es un radio y, todo radio es perpendicular a la recta tangente a la circunferencia en el punto donde ese radio corta a la circunferencia.
* Puede demostrarse geométricamente que el foco principal de un espejo esférico es el punto medio del radio de curvatura. Dada la relacion entre lo anterior y la distancia focal, podemos también afirmar -y demostrar- que la distancia focal es igual a la mitad del radio de curvatura.
Hasta aquí, hemos hablado de los espejos esféricos cóncavos, ocupémonos ahora de los convexos:
En estos, también se cumplen las leyes de la reflexion ya conocidas y analizadas, pero debemos hacer la aclaracion de que:
“el foco principal de un espejo esférico convexo, es virtual”, por lo tanto, la distancia focal de un espejo convexo es negativa.
Puede verificarse fácilmente que la trayectoria de los rayos en los casos de espejos esféricos convexos, es similar a la trayectoria en los espejos concavos, pero... como el foco es virtual, decimos:
* Cualquier rayo paralelo al eje principal, en un espejo convexo, se refleja de manera tal que su prolongacion pasa por el foco.
* Todo rayo que incidiendo sobre un espejo convexo tiende a pasar por el foco se refleja en forma paralela al eje principal.
* Todo rayo que incide en direccion al centro del espejo, se refleja sobre si mismo.
La imagen que surge en un espejo esferico convexo, es virtual, de igual sentido y menor que el objeto reflejado.
ESPEJO TRIPLE.
Se disponen tres espejos planos, perpendiculares entre si, de forma que se constituyan un triedro trirrectángulo. En una habitación, dos paredes continuas y el
suelo forman un triedro trirrectángulo).
Un rayo luminoso que incida en uno de los tres espejos sufre varias reflexiones, siendo finalmente devuelto, paralelamente a su
dirección primitiva, hacia la fuente luminosa. Esta
propiedad no depende de la orientación del triedro con respecto al rayo (Fig.8).
ESPEJOS PARALELOS .
Consideremos que dos espejos planos M1 y M2 exactamente paralelos, cuyas caras reflectoras están orientadas hacia el objeto situado entre ambos. El observador situado hacia A ve un número imágenes tanto mayor cuanto más largos son los espejos. (fig. 4)
Fig. 4
En efecto, un rayo luminoso como el R1 es reflejado por el espejo M1 como si procediera de la imagen O'1 simétrica de O con respecto al plano M1 después encuentra el segundo espejo M sobre el cual se refleja de nuevo como si procediera de la imagen O'1 producida por M2 es decir, de O'1/2 en el espejo M1 y, por consiguiente, de O1,2 ,1; una nueva reflexión puede producirse sobre M2, etc., pero existe otra segunda serie. En efecto, un rayo como R2 que incidiera primeramente sobre el espejo M2 se alejaría como si procediera de la imagen O" etc.
ESPEJOS ANGULARES.
Supongamos ahora que los espejos M1 y M2 sean rectangulares:
Encontraremos, como en el caso anterior, dos series de imágenes, pero en un número muy limitado, debido a que: un rayo luminoso trazado desde el objeto O no puede sufrir más que dos reflexiones, en los casos más favorables, y 2º, ciertas imágenes coinciden.
El rayo luminoso R1 se refleja sobre M1 (Fig. 5)
Fig. 5
Como si procediera de la imagen O’1 después de encontrar M2 es reflejado en
dirección de la imagen O’1,2, y no puede sufrir otras reflexiones, antes de ser recibido por el observador. Un segundo rayo como el R2 que se refleja primeramente en M2 procedente de la imagen O'2 cae después sobre el espejo M1, por e que es reflejado de nuevo como si procediera de la imagen O'2,1, simétrica de O'2 con respecto al plano M1. Es evidente que las imágenes O’1,2 y O'2,1 coincidan en posición y sentido, y que, además, las tres imágenes del objeto están situadas sobre un mismo circulo de centro C y
radio CO. Si el ángulo que forman los espejos no es exactamente de 90º, las dos imágenes O'1,2 y O'2,1 ya coinciden; su distancia es tanto mayor cuanto más difiere de 90º el ángulo que forman los espejos. Así se tiene un
procedimiento cómodo para ajustar la perpendicular de dos espejos.
ESPEJO GIRATORIO.
Cuando gira un espejo plano, los rayos reflejados son desviados e imagen se desplaza; se estudiara sólo el caso más simple, que es también el más importante, el de un espejo que gira alrededor de un eje situado en un plano.
Cuando el espejo M gira del ángulo â alrededor del eje I, el rayo reflejado IR toma la
dirección IR1 obtengamos el
valor del ángulo RIR1. La normal IN en el punto de incidencia ha girado también el ángulo â y se encuentra en IN1 el ángulo de incidencia î + NIN1 = = î + â ; con arreglo a
ley de la reflexión, este
valor es también el de nuevo ángulo r1 = N1IR1, pero
N1IR1 = NIR - NIN 1 = NIR + RIR 2 – NIN
o î + a = î + RIR1 - â
es decir RIR1 = 2ª
Así pues, el rayo reflejado gira de un ángulo exactamente doble espejo. Más adelante se verá la aplicación de este resultado a medida del ángulos.
En cuanto a la imagen O' del objeto O es arrastrada por la rotación espejo hacia O'1 Como las distancias Ol y O’ 1I son ambas iguales a 0I, resulta que la imagen O' se desplaza sobre una circunferencia de centro I y de
radio I0 (fig. 10).
Cuando se desplaza un espejo plano permaneciendo paralelo a si mismo (traslación) por ejemplo de M a M1
muestra la figura que la del punto 0 que va desde O' a 0'1 se desplaza el doble: O'01 = 2MM1 (fig.11)
ESPEJOS CONCAVOS. En el estudio de estos espejos seguiremos la misma marcha que en el de los espejos planos, empezando por determinar experimentalmente la
naturaleza, posición y magnitud de sus imágenes.
La abertura del espejo o su diámetro AB del circulo base; su abertura angular es el ángulo ACB Nos limitaremos en nuestro estudio a los espejos de pequeña abertura, con diámetro inferior a la mitad del
radio de la esfera, que corresponde a un ángulo menor que 20 a 25º.
Tomemos un objeto muy luminoso situado a gran distancia del espejo; suele decirse en este caso que el objeto está infinitamente alejado del espejo o que está situado en el infinito (para ello basta que el objeto esté situado a una distancia comprendida entre 50 a 100 veces el
radio de curvatura del espejo). Podrá utilizarse para ello una lámpara eléctrica. Tratemos de recoger los rayos reflejados sobre una pequeña pantalla de cartón blanco, y comprobemos que la mitad la distancia entre el centro de espejo y su vértice se tiene una imagen muy clara, pero muy pequeña, e invertida, de la lámpara y de los objetos situados a su alrededor; el máximo de nitidez se obtiene cuando la pantalla está situada perpendicularmente al eje óptico que pasa por la lámpara. Este plano en el que se encuentran las imágenes de todos los puntos infinitamente alejados, se denomina plano focal del espejo.
Aproximemos el objeto al espejo, de forma que la imagen permanezca al principio en el plano focal, después, a medida que el objeto se aproxima al objeto.
La imagen de la pantalla es siempre invertida, y aumentada cada vez más. (fig. 13).
Fig. 13
El ramillete mágico (El espejo da una imagen real
derecha del ramo invertido y la maceta vacía parece una maceta de flores)
3. Cuando el objeto llega al plano frontal (perpendicular al eje óptico) que pasa por el centro C del espejo, la pantalla donde recoge la imagen debe estar también colocada en el mismo plano; esta imagen, siempre invertida (fig. 14), tiene exactamente la misma dimensión que el objeto.
Fig. 14
Lentes
Las lentes con superficies de radios de curvatura pequeños tienen distancias focales cortas. Una lente con dos superficies convexas siempre refractará los rayos paralelos al eje óptico de forma que converjan en un foco situado en el lado de la lente opuesto al objeto. Una superficie de lente cóncava desvía los rayos incidentes paralelos al eje de forma divergente; a no ser que la segunda superficie sea convexa y tenga una curvatura mayor que la primera, los rayos divergen al salir de la lente, y parecen provenir de un punto situado en el mismo lado de la lente que el objeto. Estas lentes sólo forman imágenes virtuales, reducidas y no invertidas.
Si la distancia del objeto es mayor que la distancia focal, una lente convergente forma una imagen real e invertida. Si el objeto está lo bastante alejado, la imagen será más pequeña que el objeto. Si la distancia del objeto es menor que la distancia focal de la lente, la imagen será virtual, mayor que el objeto y no invertida. En ese caso, el observador estará utilizando la lente como una lupa o microscopio simple. El ángulo que forma en el ojo esta imagen virtual aumentada (es decir, su dimensión angular aparente) es mayor que el ángulo que formaría el objeto si se encontrara a la distancia normal de visión. La relación de estos dos ángulos es la potencia de aumento de la lente. Una lente con una distancia focal más corta crearía una imagen virtual que formaría un ángulo mayor, por lo que su potencia de aumento sería mayor. La potencia de aumento de un sistema óptico indica cuánto parece acercar el objeto al ojo, y es diferente del aumento lateral de una cámara o telescopio, por ejemplo, donde la relación entre las dimensiones reales de la imagen real y las del objeto aumenta según aumenta la distancia focal.
La cantidad de luz que puede admitir una lente aumenta con su diámetro. Como la superficie que ocupa una imagen es proporcional al cuadrado de la distancia focal de la lente, la intensidad luminosa de la superficie de la imagen es directamente proporcional al diámetro de la lente e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia focal. Por ejemplo, la imagen producida por una lente de 3 cm de diámetro y una distancia focal de 20 cm sería cuatro veces menos luminosa que la formada por una lente del mismo diámetro con una distancia focal de 10 cm. La relación entre la distancia focal y el diámetro efectivo de una lente es su relación focal, llamada también número f. Su inversa se conoce como abertura relativa. Dos lentes con la misma abertura relativa tienen la misma luminosidad, independientemente de sus diámetros y distancias focales.
DIOPTRIO ESFERICO.- Es estudio de la refracción de un rayo luminoso a través de una superficie esférica (porción de esfera o casquete esférico) que separa dos
medios refringentes diferentes es importante porque permite establecer fácilmente la
teoría de los lentes.
Puede construirse un dioptrio esférico tallando una superficie esférica en el extremo de una varilla de
vidrio cilíndrica. Un medio todavía más simple consiste en pegar en a extremidad de un
vidrio de lámpara cilíndrica un vidrio de reloj esférico delgado.
El
sistema, mantenido verticalmente, se llena de
agua (fig. 1)
LENTES ESFERICAS DELGADAS.
Se denominan lentes sólidos de
materia transparente: vidrio, cristal, cuarzo, sal gema, etc., que constan de dos caras, que son casquetes esféricos, o bien una cara plana y otra esférica. El borde de los lentes suele ser, por lo general, circular, pero puede también tener otra forma; por ejemplo, los cristales de los antiguos anteojos eran ovalados o elípticos. Se denomina eje óptico de una lente la recta que pasa por los centros O y O’ de las dos esferas que limitan la cara, o la recta que pasa por el centro de la esfera perpendicular a la cara plana. Este eje atraviesa la lente en dos puntos S y S' denominados vértices. (fig. 4).
Fig. 4
Pueden ocurrir dos casos: o bien el espesor de la lente en el centro, es decir, la distancia SS' entre los vértices es superior al espesor del borde, en cuyo caso se dice que la lente es convergente, o bien, inversamente, el espesor en el centro SS' es menor que el borde, y entonces la lente es divergente. En cada tipo de lente se encuentran tres formas posibles, que tienen nombres particulares y que describiremos a continuación, agrupándolas en un cuadro para mayor claridad. (fig. 5).
LENTES DIVERGETES.
Seguiremos en el estudio de estas lentes la misma marcha que en el caso de los convergentes. No es posible recoger en una pantalla la imagen de un objeto real, cualquiera que sea su posición con respecto al lente.
Es posible, no obstante, ver esta imagen1 que parece situada al mismo lado que el objeto con respecto a la lente, y más cerca de esta última; por consiguiente, es virtual y derecha, del mismo sentido que el objeto. Existe, también, un plano focal-imagen virtual, en el que se encuentran situadas las imágenes de los puntos infinitamente alejados de la lente. Los dos focos principales equidistantes también de la lente, pero están invertidas, por hallarse el foco-objeto F a la derecha, si el sentido de la luz es de izquierda a derecha, y el foco-imagen F a la izquierda.
DEFECTOS DE LAS LENTES.
Las lentes, incluso delgadas, presentan defectos, denominados también aberraciones. Estas aberraciones pueden manifestarse de diferentes formas, según las propiedades que traten de obtenerse:
1. Si se desea obtener de un punto-objeto una imagen lo más fina posible (como sucederá con los anteojos astronómicos), habrá que corregir la aberración de esfericidad del
sistema óptico. Esta aberración se manifiesta de que por el hecho que los rayos refractados por los bordes de la lente (rayos marginales) cortan el eje óptico en puntos que están más cerca de la lente que los rayos centrales. (fig. 7). Es posible suprimir está aberración con una sola lente, ya que depende del índice del vidrio, de los radios de curvatura (forma de la lente), de su orientación con respecto a la luz incidente y de la distancia del objeto. Es mínima para un objeto situado en infinito cuando el radio de la cara de entrada es seis veces menor que el de la cara de salida. En la práctica, se toma la forma planoconvexa. Para suprimir la aberración de esfericidad, hay que utilizar varios lentes.
2 Una de las aberraciones más molestas de /as lentes es la aberración cromática; consideraremos una lente convergente que da en su foco la imagen de una fuente luminosa blanca muy alejada. Los bordes de la lente, actuando como prismas de ángulos pequeños (fig. 8). Desvían más los rayos rojos, de donde (fig. 7 y 8). Desvían más los rayos rojos, de donde resulta que el foco de los rayos azules y violeta se encuentran más cerca de la lente que el foco de los rayos rojos.
Fig. 7 y 8
Si se coloca una pantalla en la posición 1, se obtendrá una mancha circular con bordes rojos. En la
posición 2, la mancha tendrá un diámetro mínimo, pero sus bordes estarán todavía coloreados, produciendo la superposición del violeta y el rojo púrpura y rosa Pálido. En la posición 3, aparecerá en la pantalla una mancha circula con borde violeta. La distancia entre los focos de los rayos rojos y los rayos azules es relativamente considerable, variando según la
naturaleza del vidrio entre 1 y 1 de la longitud focal.
60 30
Para corregir esta aberración y obtener lentes acromáticas, se adhieren a lentes convergentes talladas en vidrios poco dispersivos, denominados crowns, lentes divergentes de vidrios muy dipersivos, los flints, constituidos a base de silicato de plomo, como el cristal. En la figura 9 pueden verse tipos de lentes acromáticas corregidas también de la aberración de esfericidad.
Fig. 9
3. Las otras aberraciones tiene de particular que dependen no solamente de la posición y de la abertura del diafragma que pueda acompañar a la lente. En primer lugar, la imagen de un objeto plano perpendicular al eje óptico es una superficie curva de
revolución alrededor de este eje. sobre una pantalla plana perpendicular al eje se recibe la imagen de un cuadrado, puedo obtenerse una figura cuyos lados son más o menos abombados en forma de la media luna, o bien en forma de tonel (figura 10), esta aberración se llama distorsión, y es debida a que aumento lineal varia al alejarse del eje.
Señalaremos, finalmente, la última aberración: el astigmatismo, que se manifiesta principalmente si se toma como objeto un plano en el que han trazado círculos centrados en el eje y radios salidos del centro. Es imposible ajustar en una pantalla plana (figuras 11 y 12), círculos y radios al mismo
tiempo.
Se logra corregir más o menos todas estas aberraciones utilizando varios lentes de vidrios diferentes adheridas o separados por intervalos de
aire, y disponiendo el diafragma convenientemente, ya delante, detrás o entre los lentes.
grados centigrados cuando se transforma en agua manteniendo el volumen constante? 
grados centigrados cuando se transforma en agua manteniendo el volumen constante? 
